04 / PUBLIC NOTE
CAN207 信号与系统 笔记全集
1. 信号变换与基本分类
1.1 信号变换过程 (ADC)
信号从模拟到数字的变换流程：
- Analog (模拟)：连续时间，连续幅值
- Sampling (采样)：将连续信号变为离散时间信号
- Holding (保持)：维持采样值
- Quantizing (量化)：幅值离散化
- Digital (数字)：最终形成离散时间、离散幅值的数字信号
1.2 连续时间信号 (CT) vs 离散时间信号 (DT)
- CT 信号：自变量 $t$ 连续，用圆括号 $x(t)$ 表示
- DT 信号：自变量 $n$ 为整数，用方括号 $x[n]$ 表示
1.3 信号性质
周期性
- CT: $x(t) = x(t+T)$，基波周期 $T = \frac{2\pi}{\omega}$
- DT: $x[n] = x[n+N]$，要求 $N$ 必须是最小正整数
- 组合信号: $f(t) = f_1(t) + f_2(t)$，周期为 $T_1, T_2$ 的最小公倍数 (LCM)，前提是 $\frac{T_1}{T_2}$ 为有理数
奇偶性
- 偶信号: $x(-t) = x(t)$
- 奇信号: $x(-t) = -x(t)$，且在原点处 $x(0)=0$
- 分解: 任何信号可拆分为
- 偶部分：$\mathcal{Ev}{x(t)} = \frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]$
- 奇部分：$\mathcal{Od}{x(t)} = \frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]$
2. 信号运算与典型函数
2.1 时域运算
时移 (Time Shifting): $x(t-T)$
- $T > 0$ 右移（延迟）
- $T < 0$ 左移（超前）
时域展缩 (Time Scaling): $x(ct)$
- $|c| > 1$ 压缩
- $|c| < 1$ 扩展
时域反转 (Time Reversal): $x(-t)$，图像关于垂直轴翻转
2.2 典型函数
单位阶跃函数
- 连续时间：$u(t) = \begin{cases} 1 & t>0 \ 0 & t<0 \end{cases}$
- 离散时间：$u[k] = \begin{cases} 1 & k \ge 0 \ 0 & k < 0 \end{cases}$
单位冲激函数
- 离散时间：$\delta[n] = \begin{cases} 1 & n=0 \ 0 & n \ne 0 \end{cases}$
- 关系：$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$
3. 系统性质与 LTI 系统
3.1 系统基本性质
- 无记忆性：$y(t)$ 仅取决于当前的 $x(t)$
- 可逆性：输出 $y(t)$ 可还原为输入 $x(t)$
- 因果性：输出不依赖于未来的输入
- 稳定性：有界输入产生有界输出 (BIBO)
- 线性：满足齐次性与叠加性
- 时不变性：输出特性不随时间起点改变
3.2 卷积 (Convolution)
离散卷积和：$$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k]$$
连续卷积积分：$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$
性质：
- 交换律、分配律、结合律
- 与 $\delta(t-t_0)$ 卷积等同于平移
4. 傅里叶分析
4.1 连续时间傅里叶级数 (CTFS)
分析方程：$$a_k = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt$$
合成方程：$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_0 t}$$
狄利克雷条件：
- 绝对可积
- 有限极值点
- 有限不连续点
4.2 连续时间傅里叶变换 (CTFT)
正变换：$$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$$
逆变换：$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j \omega t} d\omega$$
核心性质
- 卷积性质：时域卷积 = 频域乘积
- 乘积性质：时域乘积 = 频域卷积
- 帕塞瓦尔定理：时域能量 = 频域能量
4.3 离散时间傅里叶分析 (DTFS/DTFT)
DTFS：系数 $a_k$ 也是周期的，周期为 $N$
DTFT：$$X(e^{j\Omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n}$$
- 是关于 $\Omega$ 的连续周期函数（周期为 $2\pi$）
5. 拉普拉斯变换 (LT)
5.1 定义与 ROC
定义：$$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$ 其中 $s = \sigma + j\omega$
收敛域 (ROC)：决定了变换的存在性及信号的唯一性
- 右边信号：ROC 在某极点右侧 $\text{Re}{s} > \sigma_0$
- 左边信号：ROC 在某极点左侧 $\text{Re}{s} < \sigma_0$
- 稳定性：稳定的 LTI 系统其 ROC 必须包含 $j\omega$ 轴
5.2 传递函数 $H(s)$
$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$
极零点：
- 分母为 0 的点是极点 (Poles)
- 分子为 0 的点是零点 (Zeros)
6. Z 变换 (ZT)
6.1 定义与 DTFT 关系
定义：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$ 其中 $z = r e^{j\Omega}$
与 DTFT 关系：DTFT 是 Z 变换在单位圆 $|z|=1$ 上的采样
ROC：呈环状区域 $R^- < |z| < R^+$
7. 系统实现与滤波器
7.1 结构框图
基本元件：
- 加法器 (Adder)
- 乘法器 (Multiplier)
- 积分器 (Integrator，用于 CT)
- 单位延迟 ($z^{-1}$，用于 DT)
实现形式：
- Direct Form I：直接按差分方程实现
- Direct Form II (Canonic Form)：最少存储器实现
7.2 滤波器分类
理想滤波器：低通 (LPF)、高通 (HPF)、带通 (BPF)、带阻 (BSF)
FIR 系统：有限冲激响应
- 非递归结构
- 输出仅依赖于输入历史
IIR 系统：无限冲激响应
- 递归结构
- 输出依赖于过去输出反馈
8. 采样定理 (Sampling Theorem)
采样过程：从连续波形定期获取样本
奈奎斯特准则：为了不失真重建信号，采样频率 $f_s$ 必须大于信号最高频率的两倍 $$f_s > 2f_{\max}$$
学习笔记
这份笔记整理自《CAN207 信号与系统》课程手写笔记，按照章节、核心概念、公式和性质进行了结构化处理。建议结合实际习题和实验进行巩固学习。